矩阵

2020-05-12 20:51:50 +0800 +0800

矩阵是一系列数字的集合，只不过它们有特定的组织形式与计算方式。矩阵是 $m$ 行 $n$ 列的，也就是 $m \times n$ ，就像这样

$$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$

这就是一个 $3 \times 2$ 的矩阵。

乘以一个数

矩阵乘以一个数非常简单，将矩阵内每一个值都乘以这个数即可，例如：

$$2\times \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8\\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$

乘以矩阵

要想计算矩阵乘以矩阵，首先两个矩阵得能乘才行，这要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即 $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$ 。

矩阵乘以矩阵结果仍是一个矩阵，结果矩阵的每一个元素，都是第一个矩阵第 $i$ 行与第二个矩阵第 $j$ 列的点积，例如

$$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 4 & 2\\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 16 & 10 & 4\\ 38 & 24 & 10\\ 60 & 38 & 16 \end{pmatrix}$$

以结果矩阵的第二行第二列为例，它的计算方法就是第一个矩阵的第二行与第二个矩阵的第二行点积，即 $3\cdotp 4+4\cdotp 3\ =24$ ，其他各行各列依此类推。

由此可以看出，矩阵是没有交换律的，除非是一些特殊的矩阵，但结合律与分配律仍然存在。

$$(AB)C=A(BC)$$ $$A(B+C)=AB+AC$$ $$(A+B)C=AC+BC$$

乘以向量

首先向量应该是一个列向量，它可以看作是 $(m\times 1)$ 的矩阵。将矩阵放在向量的左边，它是一个 $(mn\times m)$ 的矩阵，这样两者就能相乘了，例如

$$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}$$

转置

矩阵的转置很简单，将 $m$ 行 $n$ 列变为 $n$ 行 $m$ 列即可，例如

$$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$

矩阵的转置有一个性质，对两个矩阵的乘积做转置，等于后一个矩阵的转置乘以前一个矩阵的转置，即

$$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$

单位矩阵

单位矩阵是一个特殊的矩阵，它是一个对角阵，也就是只有对角线（从左上到右下）上才有非零的元素，其余位置全是零

$$I_{3\times 3} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

这就是一个 $3\times 3$ 的单位矩阵。单位矩阵在运算上基本没用。因为任何矩阵乘以单位矩阵仍然等于其自身，但通过单位矩阵我们能定义一些其他的运算，例如矩阵的逆，如果能找到一个矩阵与某一矩阵相乘，不论顺序，得到的结果都是单位矩阵，那么这个矩阵成为原矩阵的逆矩阵，也就是说两个矩阵是互逆的

$$AA^{-1} =A^{-1} A=I$$

矩阵的逆的性质与矩阵转置是类似的

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

向量点积叉积的矩阵表示

向量（列向量）可以看作是 $m\times 1$ 的矩阵，那么点积与叉积自然能用向量形式表示

$$\vec{a} \cdotp \vec{b} =\vec{a}^{T}\vec{b} =(x_{a} \ y_{a} \ z_{a} )\begin{pmatrix} x_{b}\\ y_{b}\\ z_{b} \end{pmatrix} =(x_{a} x_{b} +y_{a} y_{b} +z_{a} z_{b} )$$ $$\vec{a} \times \vec{b} =A^{\ast } b=\begin{pmatrix} 0 & -z_{a} & y_{a}\\ z_{a} & 0 & -x_{a}\\ -y_{a} & x_{a} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{b}\\ y_{b}\\ z_{b} \end{pmatrix}$$

注意这里不是 $A$ 乘 $b$ 而是 $A^{\ast }$ 乘b， $A^{\ast }$ 是我们对 $\vec{a}$ 重新组织后得出的矩阵，称为dual matrix。