变换
变换依靠矩阵相乘，以往我们学习线性代数时，可能难以理解矩阵相乘到底有什么意义，在图形学中，矩阵相乘的效果就是对某一矩阵应用一种变换，例如平移、缩放、旋转等，矩阵相乘的结果，就是对原矩阵应用某种变换产生的新矩阵。
缩放变换
我们首先来以缩放这一简单的变换来说明矩阵是如何进行变换的。
在原点 \((0,\ 0)\) 处放置了一张微软logo，图中左侧坐标系中logo的大小是 \(4\times 4\) ，右侧坐标系中logo的大小是 \(8\times 8\) ，放大了2倍。相对于右侧坐标系，左侧坐标系中logo的每一个点都放大了两倍，如果以 \(x, y\) 表示左侧中的每一点，以 \(x^{\prime }, y^{\prime }\) 表示右侧中的每一点，那么变换的过程就是
\[ s=2\] \[ x^{\prime } =sx\] \[ y^{\prime } =sy\]
写成矩阵形式就是
\[ \begin{pmatrix} x^{\prime }\\ y^{\prime } \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]根据前面学过的矩阵乘法，这一计算过程与原始变换过程是相同的。可以很直观的看出来，等号右边包含 \(s\) 的矩阵，就是我们用于缩放的矩阵（二维），左上角的 \(s\) 用于缩放 \(x\) ，右下角的 \(s\) 用于缩放 \(y\) 。当然，两个 \(s\) 的值可以是不同的，使用不同的 \(s\) 就会得到拉伸或压缩的效果，例如使用下面的矩阵
\[ \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]就会得到水平方向的拉伸
对称变换
在上面的图中，右侧坐标系的logo相对于左侧坐标系的logo沿 \(y\) 轴对称，根据上面的知识，我们很容易得出该对称变换的矩阵
\[ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]切变变换
在这个例子中，右侧logo好像被拽着右上角水平拉伸了一段距离，那么怎么得到它的变换矩阵呢？我们来分析一下这个变换过程。
- 当 \(y=0\) 时， \(x\) 坐标不变
- 当 \(y=1\) 时， \(x\) 坐标变为a
- \(y\) 始终不变
以矩阵表示这个变换就是
\[ \begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]我们分别以紫色三个点来实际验证一下
\[\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0.5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.5a\\ 0.5 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix}\]验证结果没有问题，说明我们的变换矩阵是正确的。
如何得到变换矩阵
从上面的三个变换例子可以看出，要得到一个变换的变换矩阵，只需要找到 \(x\) 与 \(x^{\prime }\) ， \(y\) 与 \(y^{\prime }\) 的关系即可。对于变换来说，该变换矩阵必然是应用到图像中的每一点的，那么我们只需要找几个特殊的点，寻找他们之间的关系，而这个关系必然也适用于其他所有点。
通过上面几个例子可以看出，上面几种变换都可以描述为下面的公式
\[x^{\prime } =ax+by\] \[y^{\prime } =cx+dy\] \[\begin{pmatrix} x^{\prime }\\ y^{\prime } \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]这种变换就称为线性变换。
齐次坐标
理解了线性变换，我们来看另一种变换
在这个变换中logo从 \((0, 0)\) 处平移至 \((1, 1)\) 处，它的变换关系为
\[x^{\prime }=x+t_{x}\] \[y^{\prime }=y+t_{y}\]此时可以发现平移过程无法写成上面的矩阵变换形式，而是以这种形式表示
\[\begin{pmatrix} x^{\prime }\\ y^{\prime } \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} t_{x}\\ t_{y} \end{pmatrix}\]对于这种形式，我们称之为仿射变换。平移变换并不属于我们上面看到的线性变换，没法写成上面的线性变换矩阵形式。但为了将这两种变换以矩阵形式统一起来，就引入了齐次坐标这一概念。
在2D平面中我们使用两个值组成的矩阵表示点或向量，例如
\[2D\ point\ or \ 2D\ vector\ =\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]对2D来说，齐次坐标在其上增加了一个维度
\[2D\ point\ =\ \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}\] \[2D\ vector\ =\ \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0 \end{pmatrix}\]对点增加了一个维度，值固定为1，对向量增加了一个维度，值固定为0。要想对齐次坐标施加变换，变换矩阵的维度必然也需要加一，否则矩阵无法相乘，这样就得出了一个非常有用的特性：我们的 \(t_{x}\) 与 \(t_{y}\) 就能放置到这个增加的维度里，而不需要单独写出
\[\begin{pmatrix} x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime } \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_{x}\\ 0 & 1 & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+t_{x}\\ y+t_{y}\\ 1 \end{pmatrix}\]上面的例子中我们对齐次坐标应用了一个变换矩阵，在变换矩阵新增的维度上包含 \(t_{x}\) 与 \(t_{y}\) ，这就是我们要的平移变换，同时目的也达到了，使用一次矩阵相乘就能得到之前需要相加的变换形式，并且一般的线性变换同样可以写成这种形式。
有一个问题，为什么齐次坐标要区分开点与向量的写法？一个值为0，一个值为1？这是因为向量是有方向的，它具有平移不变性，对一个向量随意进行平移，平移之后的向量方向是不变的，并且平移之后的向量就是原向量。
观察上面的矩阵乘法，结果中的三个维度是这么得到的
\[1\cdot x+0\cdot y+1\cdot t_{x}=x+t_{x}\] \[0\cdot x+1\cdot y+1\cdot t_{y}=y+t_{y}\] \[0\cdot x+0\cdot y+1\cdot 1=1\]对于点来说这没问题，但对向量来说，因为其具有平移不变性，变换结果就是原向量，结果是不应该包含 \(t_{x}\) 与 \(t_{y}\) 的，否则就打破了这一规则，所以对于向量来说增加的维度值为0，用来保护平移向量时的不变性。
不论是基于齐次坐标，还是几何理解，我们都能得出点与向量之间加减法的结果
- 向量+向量=向量
- 点-点=向量
- 点+向量=点
- 点+点=点
对于第四点特需要别说明一下，在齐次坐标体系下，两个点相加后 \(w=2\) ，这该怎么理解？答案是它仍是一个点，对于 \(w\) ，有
\[\begin{pmatrix} x\\ y\\ w \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ 1 \end{pmatrix} ,\ \ w\neq 0\]所以两个点相加，仍然是一个点，并且结果是这两个点的中点。
组合变换
对于上面这个变换，很容易发现它是旋转与平移的组合，想要直接得出整个过程的变换矩阵的过程是有些难度的，但我们可以将其分解，先沿原点旋转 \(45\degree\) （图形学中未做特别说明时，旋转都是以原点为中心逆时针旋转），然后进行平移，就能得到最终的结果了。
此时我们可以得出两个结论：
- 复杂的变换可以通过简单变换的组合得到
- 组合的顺序是很重要的，先旋转后平移和先平移后旋转会得出不同的结果，不论是从几何角度还是矩阵角度都是如此
那么组合变换如何描述为矩阵形式呢？答案是使用矩阵乘法。以 \(R_{45}\) 表示旋转矩阵， \(T_{(1,1)}\) 表示平移矩阵，那么最终的变换过程就是
\[T_{( 1,1)} \cdot R_{45}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos 45\degree & -\sin 45\degree & 0\\ \sin 45\degree & \cos 45\degree & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}\]组合变换矩阵的乘法顺序是从右到左的，也就是点先乘以旋转矩阵，然后乘以平移矩阵。如果想要再加上一个新变换，只需要在左边新增一个矩阵即可。
对于更广泛的情况，矩阵组合过程可以写为
\[A_{n}( \dotsc A_{2}( A_{1}( x))) =A_{n} \cdots A_{2} \cdot A_{1} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}\]当组合多个矩阵变换时，乘法的顺序一定是从右到左的，由于矩阵没有交换律，但有结合律，那么我们可以将 \(A_{n} \cdots A_{2} \cdot A_{1}\) 计算为一个矩阵，它就表示原先我们要组合的多个矩阵。
三维变换
三维变换其实就是二维的扩展，它同样拥有齐次坐标，二维变换的一系列规则。
\[3D\ point\ =\ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix}\] \[3D\ vector\ =\ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ z/w\\ 1 \end{pmatrix} ,\ \ w\neq 0\] \[\begin{pmatrix} x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b & c & t_{x}\\ d & e & f & t_{y}\\ g & h & i & t_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix}\]